2 triangles célèbres

Waclaw Sierpinski (1882 - 1969) est un mathématicien polonais qui a étudié en 1915 un objet mathématique que l'on appelle "triangle de Sierpinski";Cet objet est un exemple d'objet "fractal" FRACTALE
- Une fractale est un objet (mathématique ou naturel) de forme très irrégulière ou très fragmentée qui ne peut pas être correctement décrit par la géométrie classique euclidienne.
- Une nouvelle géométrie dite théorie fractale a été élaborée par Benoît Mandelbrot(1924-2010) pour décrire ces objets complexes.
- Une des propriétés d'une fractale est l'autosimilarité:chaque portion d'une fractale reproduit la forme générale de la fractale; cette autosimilarité peut être exacte(c'est le cas pour certains objets fractals mathématiques comme le triangle de Sierpinski) ou approximative(cas des objets fractals naturels).
- Parmi les fractales naturelles on peut signaler les arbres,les nuages,les poumons,les choux romanesco,les montagnes ...

(la photo de la médaille ci-contre provient de wikimedia commons: auteur Szczebrzeszynski)

Création de l'objet:je vais raisonner avec un triangle rectangle isocèle (le triangle peut être quelconque;en général on le choisit équilatéral)

• Etape 0 :On commence avec un grand triangle entièrement peint (en noir par exemple)
• Etape 1 (première itération):On divise le triangle en 4 triangles égaux en joignant par des segments de droite les milieux des côtés;on peint le triangle central avec une couleur différente(en blanc par exemple)
• Etape 2 (deuxième itération):on répète la même opération dans chacun des 3 triangles noirs restants
• Etape 3 (troisième itération):on répète la même opération dans chacun des 9 triangles noirs restants

.....et ainsi de suite indéfiniment.En déplaçant la souris,sans cliquer, sur les chiffres de l'image ci-contre on peut voir l'aspect du triangle pour les 4 premières itérations.L'aire de la partie noire diminue et tend à devenir nulle lorsque le nombre d'itérations tend vers l'infini

Dans les images ci-dessous les coquillages cymbiola-innexa et conus-textile présentent des motifs du type triangle de Sierpinski

Description: la grille ci-contre est constituée de cases que l'on peut répartir suivant des lignes et des colonnes;il y a autant de lignes que de colonnes(ici 8 mais ce nombre peut être aussi grand que l'on veut) Les lignes sont numérotées de haut en bas à partir de zéro,les colonnes de gauche à droite à partir de zéro;la ligne 0 ne contient qu'une case;la première et la dernière case de chaque ligne contiennent le nombre 1;Le nombre contenu dans la case [n,k] de la ligne numéro n et de la colonne numéro k est la somme des nombres contenus dans la case [n-1,k] et dans la case [n-1, k-1] (exemple:la case jaune n= 5 k= 2 contient le nombre 10 somme du 6 contenu dans la case verte [4,2] et du 4 contenu dans la case verte [4,1] Ce triangle posséde de nombreuses propriétés mathématiques qui ont été décrites par Blaise Pascal dans son "traité du triangle arithmétique" en 1654 .

Le triangle en " arithmétique modulaire"

- triangle modulo 2 : dans ce triangle il n'y a que des 0 (pour les nombres pairs) et des 1 (pour les nombres impairs).J'ai représenté les 500 premières lignes du triangle par une image dans laquelle chaque case correspond à un pixel de couleur bleue s'il s'agit d'un nombre pair et de couleur rouge s'il s'agit d'un nombre impair; On constate la grande ressemblance avec le triangle de Sierpinski;on peut en conclure que dans un très grand triangle de Pascal la proportion des nombres impairs tend vers zéro;

- J'ai représenté également le triangle pour un modulo différent de 2 :on obtient également de jolies images à caractère fractal; les couleurs choisies sont: Pour les images bicolores: bleu pour le 0 ,rouge pour le 1. Pour les images multicolores:bleu pour le 0 ,rouge pour le 1, vert pour le 2, jaune pour le 3, violet pour le 4, gris pour le 5